基础解系取1和0（或单位向量）的原因主要基于线性无关性和计算简便性，具体如下：
线性无关性保障
选择（1,0）和（0,1）作为自由变量的取值，可以确保构造出的解向量线性无关。例如，对于二维方程组，若设x₂和x₃为自由变量，分别取1,0和0,1，得到的解向量a₁=（a,1,0）和a₂=（b,0,1）显然线性无关。
计算简便性
使用单位向量（即自由变量取1，其余为0）简化了计算过程。例如，对于三个自由变量的情况，取（1,0,0）、（0,1,0）、（0,0,1）即可快速构造基础解系，且无需额外处理。
通用性与灵活性
虽然通常取单位向量，但实际计算中可根据自由变量的具体个数选择其他线性无关的向量组。例如，三个自由变量可取（1,0,0）、（0,1,0）、（0,0,1），或（2,0,0）、（0,1,0）等，只要保证线性无关即可。
解空间维数要求
齐次线性方程组AX=0的解空间维数为n-r（A），其中n为未知数个数，r（A）为矩阵A的秩。通过为每个自由变量赋1（其余为0），可构造出恰好n-r（A）个线性无关的解向量，满足基础解系的定义。
总结 ：取1和0（或单位向量）是基础解系的一种标准方法，既能保证线性无关性，又简化了计算过程，同时符合解空间维数的要求。实际应用中可根据具体情况选择其他等效的线性无关向量组。
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