狄利克雷函数是周期函数，其核心原因在于有理数加有理数仍为有理数，无理数加有理数仍为无理数，这一性质保证了函数值在平移任意有理数后保持不变。具体证明如下：
定义回顾
狄利克雷函数定义为：
$$
D(x) =
begin{cases}
1, & text{若 } x text{ 为有理数}
0, & text{若 } x text{ 为无理数}
end{cases}
$$
周期性质证明
有理数周期 ：设 $T$ 为任意正有理数，若 $x$ 为有理数，则 $x+T$ 仍为有理数，故 $D（x+T） = 1 = D（x）$；若 $x$ 为无理数，则 $x+T$ 仍为无理数，故 $D（x+T） = 0 = D（x）$。因此，任意正有理数 $T$ 都是周期。
无理数周期 ：若 $T$ 为任意有理数，同理可证 $D（x+T） = D（x）$，即无理数周期同样成立。
无最小正周期
由于有理数集无最小正元素，狄利克雷函数不存在最小正周期。
总结 ：狄利克雷函数的周期性源于有理数与无理数的封闭性，任意有理数均可作为周期，但缺乏最小正周期。这一特性揭示了周期函数定义的广泛性，即周期不一定唯一或最小。
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