导数与函数的单调性极值最值例题

导数是微积分中的重要工具，可以用来研究函数的单调性、极值和最值。下面通过一些例题，帮助大家更好地理解和应用导数。

例题1：已知函数f(x)=x^3-3x，求其单调区间和极值。

解：首先求导得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。在x=-1和x=1两侧，f'(x)的正负改变，因此x=-1和x=1是函数的极值点。将x=-1和x=1代入原函数，得到极值分别为f(-1)=2和f(1)=-2。通过绘制函数图像或观察导数的正负变化，可以得出函数在区间(-∞,-1)和(1,∞)上单调递增，在区间(-1,1)上单调递减。

例题2：已知函数f(x)=x^2+2x，求其最小值。

解：首先求导得f'(x)=2x+2，令f'(x)=0，解得x=-1。在x=-1两侧，f'(x)的正负不改变，因此x=-1不是函数的极值点。但是，x=-1是函数图像的拐点，且在此点处函数值最小，即f(-1)=(-1)^2+2*(-1)=-1，因此函数的最小值为-1。

拓展资料：

1.导数是研究函数变化快慢和方向的重要工具，通过导数可以判断函数的单调性，求解函数的极值和最值。

2.函数的单调性可以通过导数的正负来判断。如果函数在某区间上的导数大于0，则函数在该区间上单调递增；如果函数在某区间上的导数小于0，则函数在该区间上单调递减。

3.函数的极值和最值可以通过导数的零点和拐点来求解。导数的零点是函数的极值点，导数的拐点是函数的最值点。

通过以上的例题和拓展资料，我们可以看出导数在研究函数的单调性、极值和最值中的重要作用。熟练掌握和应用导数，可以帮助我们更好地理解和解决问题。