单连通区域包括边界。
在拓扑学中，单连通性是一个重要的概念，它描述了一个区域在几何上是否是“没有洞”的。具体来说，一个区域如果没有任何“洞”或者“裂缝”，那么它就是单连通的。这里的“区域”通常指的是二维平面上的一个子集。
当我们讨论单连通区域时，是否包括边界，这取决于我们如何定义“区域”。在拓扑学的严格定义中，一个区域通常被理解为包含其边界在内的整体。因此，当我们说一个区域是单连通的，这通常意味着这个区域及其边界都是单连通的。
举个例子，考虑一个圆。圆是一个单连通区域，因为它内部没有任何“洞”。然而，圆的边界（即圆周）也是单连通的，因为圆周上的任意两点之间都可以通过一条连续不断且不离开圆周的路径连接起来。
相反，如果我们考虑一个环形区域，即一个有洞的圆，这个环形区域本身不是单连通的，因为它内部有一个“洞”。但是，如果我们只考虑环形的边界（即圆周），那么这个边界是单连通的。
在更一般的数学讨论中，有时候也会讨论“内部单连通”和“外部单连通”的概念。内部单连通指的是区域本身是单连通的，而不考虑边界；而外部单连通则是指包括边界在内的整体是单连通的。在大多数情况下，当我们提到单连通区域时，我们默认是指包括边界在内的。
1. 单连通性在数学和物理学的许多领域中都有应用，比如在流体动力学中，流体在没有障碍物的情况下流动的路径可以看作是单连通的。
2. 单连通性的概念可以通过同伦群来更深入地研究，这是拓扑学中的一个高级主题。
3. 单连通性是判断一个图形是否可以通过连续变形而不自我交叉地填充平面（即平面填充）的必要条件之一。
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