15乘以15的巧妙算法是使用"平方数的拆分"方法。
首先，我们可以把15看成是10加5，那么15的平方就可以看成是10的平方加上2个10乘以5再加上5的平方。这是因为根据乘法分配律，a(b+c)=ab+ac。所以，15×15=10×10+2×10×5+5×5=225。
1.这种方法的理论基础是乘法分配律，也就是对于任何数a、b和c，都有a(b+c)=ab+ac。这是我们学习乘法运算时最早接触的定律，也是进行各种乘法运算的基础。
2.这种方法在计算平方数时特别有用，因为一个数的平方等于这个数和它本身的乘积。例如，9的平方等于9×9，16的平方等于16×16。所以，当我们需要计算一个数的平方时，可以先把这个数拆分成几个数的和，然后分别计算这些数的平方，最后把结果加起来。
3.这种方法不仅适用于15的平方，也适用于其他类似的数的平方，比如16的平方，我们可以把它看成是10的平方加上2个10乘以6再加上6的平方，这样计算起来就更加方便了。
综上所述，15乘以15的巧妙算法是利用了乘法分配律和平方数的拆分方法，这种方法不仅可以使计算过程更加简单，而且也能够帮助我们更好地理解和掌握乘法运算的规律。
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