级数收敛lim无穷一定为0么

不一定

级数收敛的概念涉及到级数的项数趋于无穷大时，级数的和是否趋于一个确定的值。对于级数 (sum_{n=1}^{infty} a_n)，如果存在一个实数 (S)，使得当 (n) 趋于无穷大时，级数的部分和 (s_n = a_1 + a_2 + cdots + a_n) 趋于 (S)，则称这个级数收敛，并称 (S) 为该级数的和。

然而，级数收敛并不意味着其通项 (a_n) 必须趋于0。级数的收敛性只要求部分和 (s_n) 趋于一个确定的极限 (S)，而不要求 (a_n) 本身趋于0。例如，考虑一个常数级数 (sum_{n=1}^{infty} 1)，其通项 (a_n = 1) 对所有 (n) 都不等于0，但这个级数显然是发散的，因为其部分和 (s_n = n) 随 (n) 增大而无限增大。

另一方面，如果级数 (sum_{n=1}^{infty} a_n) 收敛，那么根据级数收敛的必要条件，通项 (a_n) 必须趋于0。这是因为如果存在一个正数 (epsilon > 0)，使得对于所有的 (N)，存在 (n > N) 使得 (|a_n| > epsilon)，那么部分和 (s_n) 就无法趋于一个确定的值，从而级数不会收敛。

因此，级数收敛的条件之一是其通项 (a_n) 趋于0，但这不是充分条件，因为 (a_n) 趋于0并不保证级数收敛。

拓展资料：

1. 级数收敛的必要条件之一是通项趋于0，但这是必要非充分条件。

2. 举例说明存在通项不趋于0但级数收敛的情况，如交错级数或条件收敛的级数。

3. 探讨级数收敛的其他必要条件，如级数项的绝对值递减。