二元函数极限存在与连续关系

二元函数的极限存在与连续性之间存在着紧密的联系。在一定条件下，二元函数极限的存在可以保证其连续性。

二元函数在某一点的极限存在的定义是：对于函数f(x,y)，如果存在点P，当点Q沿着任意路径趋近于P时，函数f(Q)趋近于某个确定的值A，那么我们就说函数f(x,y)在点P的极限存在，且等于A。

连续性的定义则是：如果函数f(x,y)在点P的极限存在，并且等于函数在该点的函数值f(P)，那么我们就说函数f(x,y)在点P是连续的。

由此可见，二元函数极限存在的一个直接结果就是函数在该点的连续性。这是因为，如果函数在某点的极限存在，那么按照连续性的定义，函数在该点必定是连续的。

拓展资料：

1.二元函数的极限存在性并不保证其连续性。也就是说，如果一个二元函数在某点的极限存在，但该点的函数值不存在，那么该函数在该点就不连续。例如，函数f(x,y)=(x^2+y^2-1)/(x^2+y^2)在原点的极限存在且等于1，但原点的函数值不存在，所以函数在原点不连续。

2.二元函数的连续性也并不保证其极限存在。也就是说，如果一个二元函数在某点是连续的，但该点的极限不存在，那么该函数在该点就不连续。例如，函数f(x,y)=x/y在原点的函数值等于0，所以函数在原点是连续的，但由于当x,y趋近于0时，函数值可以趋近于任意值，所以函数在原点的极限不存在，所以函数在原点不连续。

3.只有当二元函数在某点的极限存在且等于该点的函数值时，函数在该点才是连续的。这是二元函数连续性的充分必要条件。

总的来说，二元函数的极限存在与连续性之间存在着密切的关系。极限存在的条件是连续性的必要条件，而连续性的条件则是极限存在的充分条件。理解和掌握这些关系，对于理解和应用二元函数的性质是非常重要的。