三角形有哪些定理

三角形是几何学中的基本图形，其相关定理体系庞大且应用广泛。以下是三角形的核心定理分类整理：

一、基本性质定理

三角形内角和定理

三角形三个内角之和等于180度。

三角形三边关系定理

任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

直角三角形特殊性质

两直角边平方和等于斜边平方（勾股定理）；

斜边中线等于斜边的一半；

30度角所对直角边等于斜边的一半。

二、特殊三角形定理

等腰三角形定理

两腰相等，两底角相等；

顶角平分线、底边中线、底边高重合（三线合一）。

等边三角形定理

三边相等，三个内角均为60度。

三、几何中心定理

重心定理

三条中线交于一点（重心），重心到顶点距离是到对边中点距离的2倍。

外心定理

三边垂直平分线交于一点（外心），外心到三顶点距离相等。

垂心定理

三条高交于一点（垂心）。

内心定理

三内角平分线交于一点（内心），内心到三边距离相等。

旁心定理

一内角平分线与另外两顶点外角平分线交于一点（旁心），三角形有三个旁心。

四、其他重要定理

中位线定理

两边中点连线平行于第三边且等于第三边的一半。

正弦定理

$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，用于解三角形。

余弦定理

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$，用于已知三边求角或已知两边及夹角求第三边。

五、面积计算公式

基础公式 ：$S = frac{1}{2}absin C$；

海伦公式 ：$S = sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$，其中$p = frac{a+b+c}{2}$。

这些定理共同构成三角形理论的基石，广泛应用于数学、物理、工程等领域。