考研分部积分如何计算

考研分部积分的计算方法主要基于分部积分公式，通过合理选择函数进行拆分，将复杂积分转化为简单积分的组合。以下是具体步骤和注意事项：

一、分部积分公式

分部积分法的核心公式为：

$$

int u , dv = u , v - int v , du

$$

其中，$u（x）$ 和 $dv（x）$ 的选择需满足：

$u（x）$ 的导数 $u'（x）$ 较简单；

$dv（x）$ 的积分 $v（x）$ 较容易计算。

二、函数选择策略

$u（x）$ 的选择

优先选择基本初等函数（如对数函数、幂函数、三角函数等），其导数形式简单。例如：

若被积函数含 $ln x$，可设 $u = ln x$，则 $du = frac{1}{x} , dx$；

若含 $x^n$，可设 $u = x^n$，则 $du = n x^{n-1} , dx$。

$dv（x）$ 的选择

优先选择积分简单的函数，如多项式、三角函数等。例如：

若被积函数含 $x , dx$，可设 $dv = x , dx$，则 $v = frac{x^2}{2}$；

若含 $sqrt{x}$，可设 $dv = sqrt{x} , dx$，则 $v = frac{2}{3} x^{3/2}$。

三、典型应用示例

以 $int x ln x , dx$ 为例：

设 $u = ln x$，$dv = x , dx$；

计算 $du = frac{1}{x} , dx$，$v = frac{x^2}{2}$；

应用分部积分公式：

$$

int x ln x , dx = frac{x^2}{2} ln x - int frac{x^2}{2} cdot frac{1}{x} , dx = frac{x^2}{2} ln x - frac{1}{2} int x , dx = frac{x^2}{2} ln x - frac{x^2}{4} + C

$$

四、注意事项

积分区域 ：分部积分法同样适用于定积分，需注意积分上下限的变化；

多次分部积分 ：对于高阶积分，可能需要多次应用分部积分法。例如 $int x^2 sin x , dx$ 可设 $u = x^2$，$dv = sin x , dx$，再对 $int 2x cos x , dx$ 使用分部积分法；

函数变形 ：部分复杂积分需先对被积函数变形（如凑微分），再应用分部积分法，避免直接计算导致错误。

五、总结

分部积分法通过合理拆分被积函数，将复杂积分转化为简单积分的组合。关键在于选择合适的 $u$ 和 $dv$，并灵活运用公式。考研中常见于含对数、幂函数、三角函数等乘积形式的积分。