关于再就业工作的负责单位，综合相关信息和政策文件，具体说明如下：
人力资源和社会保障局
就业局作为人力资源和社会保障局下属的二级机构（县级为例），是再就业工作的核心管理部门。其职责包括：
贯彻落实就业和再就业政策，负责就业统计、企业用工资格认定及就业服务管理；
组织实施再就业工程，制定规划及实施方案；
指导基层劳动保障站开展业务工作。
地方就业服务中心（如市就业服务中心）
具体执行劳动就业服务职能，包括：
负责企业下岗职工分流安置及再就业服务；
组织职业技能培训（如创业培训、职业资格培训）；
承担就业、失业情况统计及就业服务企业资质认定等事务。
政策制定与执行 ：市、县级人力资源和社会保障局制定再就业政策，就业服务中心具体落实；
部门协作 ：教育培训机构、工会、共青团等群团组织及企业参与培训实施，形成社会共治格局。
工作人员性质 ：就业服务中心工作人员通常为事业编制，但编制性质可能为全额或半事业，具体以当地规定为准；
服务对象 ：主要服务下岗职工、失业人员及新成长劳动力，涵盖职业培训、岗位推荐、创业扶持等。
综上，再就业工作以人力资源和社会保障局为核心，就业服务中心为执行主体，形成政府主导、社会协同的就业服务体系。
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