清政府批准官派留学计划的时间是 1870年 。以下是相关背景信息：
计划提出与批准
容闳于1868年初向清政府提出选派少年出洋留学的计划，建议每年派30人，4年完成，共120人。该计划得到曾国藩、李鸿章等官员的强烈支持，最终于 1870年冬 获清政府批准。
实施细节
首批学生 ：1872年8月11日，陈兰彬、容闳率领第一批30名学生（包括梁郭彦、詹天佑等）启程赴美。 - 后续批次 ：此后每年派遣30人，至1875年共派出120名留学生。
历史意义
这一计划是中国近代史上第一批官派留学生，标志着中国正式开启系统性留学教育，旨在学习西方的先进技术和管理经验，以应对内忧外患。
综上，清政府批准官派留学计划的时间为 1870年 ，而首批学生实际启程时间为 1872年 。
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