高中数学函数怎么证明

高中数学中证明函数性质（如单调性、奇偶性等）通常采用以下方法：

一、定义法

单调性证明

设$x_1, x_2 in D$且$x_1 < x_2$，计算$f（x_1） - f（x_2）$，通过变形（如因式分解、配方等）判断其符号：

若$f（x_1） - f（x_2） > 0$，则$f（x）$在区间$D$上为增函数；

若$f（x_1） - f（x_2） < 0$，则$f（x）$为减函数。

例如：证明$f（x）=x^2$在$（0, +infty）$上为增函数，可计算$f（x_1）-f（x_2）=（x_1^2 - x_2^2）=（x_1 - x_2）（x_1 + x_2）$，由于$x_1, x_2 > 0$且$x_1 < x_2$，所以$（x_1 - x_2）（x_1 + x_2） > 0$。

奇偶性证明

若$f（-x） = f（x）$，则函数为偶函数；

若$f（-x） = -f（x）$，则函数为奇函数。

例如：证明$f（x）=x^3$为奇函数，计算$f（-x）=（-x）^3=-x^3=-f（x）$。

二、导数法（适用于可导函数）

计算$f'（x）$：

若$f'（x） > 0$，则$f（x）$在区间内为增函数；

若$f'（x） < 0$，则$f（x）$为减函数。

例如：证明$f（x）=e^x$为增函数，因$f'（x）=e^x > 0$恒成立。

三、其他方法

复合函数单调性

若$y=f（u）$和$u=g（x）$均为增函数，则复合函数$y=f（g（x））$为增函数，反之亦然。

特殊函数性质

指数函数$y=a^x$（$a>1$）单调递增，$0<a<1$时单调递减；

对数函数$y=log_a x$（$a>1$）单调递增，$0<a<1$时单调递减。

四、证明步骤总结

明确函数定义域

选择证明方法 （定义法、导数法等）；

进行符号判断 （通过变形、导数等）；

得出结论 。

通过以上方法，可以系统地证明函数的单调性、奇偶性等性质。