关于圆的切线方程公式，综合多个来源的信息整理如下：
若圆的方程为 $（x-a）^2 + （y-b）^2 = r^2$，圆心为 $（a, b）$，半径为 $r$，则过圆上一点 $（x_0, y_0）$ 的切线方程为：
$$
(x-a)(x_0-a) + (y-b)(y_0-b) = r^2
$$
推导依据 ：该方程通过向量垂直关系推导得出，即切线与半径垂直，且过切点。
切线是垂直于过切点半径的直线。若圆心为 $（a, b）$，切点为 $（x_0, y_0）$，则切线斜率 $k$ 为：
$$
k = -frac{x_0-a}{y_0-b}
$$
切线方程可表示为：
$$
y - y_0 = k(x - x_0)
$$
整理后得：
$$
(x_0-a)(x-x_0) + (y_0-b)(y-y_0) = 0
$$
性质 ：此方法强调切线与半径的垂直关系。
公式验证 ：将 $（x_0, y_0）$ 代入圆方程，等式成立，说明切点在圆上。
应用场景 ：适用于已知圆心和切点坐标的情况，若仅知圆心和切线斜率，也可使用点斜式推导。
公式中的 $（x_0, y_0）$ 必须是圆上的点，否则不满足切线条件。
该公式与直线的一般式 $（Ax+By+C=0）$ 等价，可通过整理得到。
以上公式综合了向量法和解析法，是研究圆的切线性质的基础工具。
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