考研如何矩阵合同变换

矩阵合同变换是线性代数中用于将二次型矩阵化为标准型的方法，其核心思想是通过可逆线性变换将原矩阵转化为对角矩阵。以下是具体步骤和注意事项：

一、基本步骤

合并矩阵与单位矩阵

将二次型矩阵 $A$ 与单位矩阵 $E$ 合并为分块矩阵 $[A|E]$。

行变换化简

对分块矩阵 $[A|E]$ 进行初等行变换，将 $A$ 化为上三角矩阵。这一过程相当于对 $A$ 左乘一系列初等矩阵的乘积 $P_1P_2cdots P_n$。

列变换完成对角化

在 $A$ 被化为上三角矩阵后，对 $E$ 进行相同的列变换，使得 $E$ 变为 $C^T$，从而得到 $C^TAC = Lambda$，其中 $Lambda$ 为对角矩阵。

二、注意事项

合同变换与相似变换的区别

合同变换是通过初等行变换和列变换实现，而相似变换仅通过初等行变换（或列变换）。合同变换不要求矩阵可对角化，而相似变换要求矩阵可对角化。

特殊情况处理

若 $A$ 无法通过初等行变换对角化，需使用其他方法（如最小二乘法或奇异值分解法）。

计算工具辅助

可借助数学软件（如MATLAB、Python等）实现合同变换，提高计算效率。

三、典型示例

以矩阵 $A = begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 -1 & -1 & 0 2 & 0 & 2 end{bmatrix}$ 为例：

合并矩阵与单位矩阵：$[A|E] = begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 end{bmatrix}$

行变换化简为上三角矩阵：

$$

begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & -2 & 2 & 2 & 1 & 0 0 & 2 & -2 & -2 & 4 & 1 end{bmatrix} rightarrow begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & -2 & 2 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 end{bmatrix}

$$

对应的列变换矩阵 $C$ 即为所求，满足 $C^TAC = Lambda$，其中 $Lambda = text{diag}（1, -2, 3）$。

四、总结

矩阵合同变换是二次型理论的核心工具，通过初等行变换和列变换实现矩阵的对角化。掌握该方法需结合线性方程组的解法（如高斯消元法）和矩阵的初等变换技巧。考试中常以选择题和填空题形式出现，需注重对基础定义和公式的理解与应用。