可微与连续的什么条件

可微与连续的关系是微积分中的重要概念，具体关系如下：

一、可微与连续的定义

连续性 ：函数在某点连续是指当自变量趋近于该点时，函数值趋近于该点的函数值，即 $lim_{x to x_0} f（x） = f（x_0）$。

可微性 ：函数在某点可微是指存在一个线性函数（全微分），使得函数值的变化可以用该线性函数近似表示，即 $Delta f = A Delta x + o（Delta x）$，其中 $A$ 是常数矩阵（对于多元函数）。

二、可微与连续的充分性

可微 $Rightarrow$ 连续 ：若函数在某点可微，则其偏导数存在且连续，从而函数在该点连续。例如，一元函数可导必连续，多元函数可微必连续。

三、可微与连续的必要性

连续 $nRightarrow$ 可微 ：函数在某点连续，但其偏导数可能不存在或连续。例如，绝对值函数 $f（x） = |x|$ 在 $x = 0$ 处连续，但不可微。

四、偏导数与可微的关系

偏导数连续 $Rightarrow$ 可微 ：若函数在某点的所有偏导数存在且连续，则函数在该点可微。

可微 $nRightarrow$ 偏导数连续 ：函数可微只能推出偏导数存在，但偏导数不一定连续。例如，函数 $f（x, y） = （x^2y + xy^2）/sqrt{x^2 + y^2}$（当 $（x, y） neq （0, 0）$）在 $（0, 0）$ 处可微，但偏导数不连续。

总结

可微是连续的充分条件 ：可微必连续，但连续不一定可微。

可微是偏导数连续的充分条件 ：偏导数连续必可微，但可微不一定偏导数连续。

这些结论在多元函数分析中具有关键作用，帮助理解函数的光滑性和局部行为。