证明函数连续是考研数学分析中的重要内容，主要分为以下三个步骤：
函数$f（x）$在点$x = a$处连续，当且仅当以下三个条件同时满足：
函数在点$a$处有定义
即$f（a）$存在且有限。
左极限与右极限存在且相等
$lim{x to a^-} f（x） = lim{x to a^+} f（x）$。
极限值等于函数值
$lim_{x to a} f（x） = f（a）$。
利用初等函数的性质
若$f（x）$是初等函数，则其定义区间内连续。
导数法（可导必连续）
若$f（x）$在点$a$可导，则$f'（a）$存在，函数在该点连续。
极限定义法
通过$epsilon-delta$定义证明：
$$forall epsilon > 0, exists delta > 0 text{ 使得 } |x - a| < delta Rightarrow |f(x) - f(a)| < epsilon$$。
分段函数处理
分段函数需分别验证各段连续性；
在分段点处需单独验证左右极限是否等于该点函数值。
例1：证明$f（x） = x^2$在$[0, +infty）$连续
初等函数性质 ：$x^2$是基本初等函数，其定义域内连续。
例2：证明分段函数连续性
$$f(x) = begin{cases}
x + 1, & x geq 0
x - 1, & x < 0
end{cases}$$
分段点验证 ：
$x = 0$处，$lim{x to 0^-} f（x） = -1 = f（0）$，$lim{x to 0^+} f（x） = 1 = f（0）$，满足条件。
例3：利用导数证明连续性
证明$f（x） = sin x$在$x = frac{pi}{2}$连续：
导数存在性 ：$f'（frac{pi}{2}） = cosfrac{pi}{2} = 0$，由可导必连续定理得证。
闭区间上连续函数的性质 ：若函数在闭区间$[a, b]$上连续，则必存在最大值和最小值（最值定理）。
一致连续性 ：若函数在闭区间上连续，则一致连续（需进一步学习）。
通过以上方法，结合具体函数类型选择证明策略，可系统解决连续性证明问题。
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