向量高中数学结论怎么写

关于高中数学中向量相关的结论，以下是常见且重要的几何结论整理，结合了向量运算与几何性质：

一、三角形“心”的向量表示

重心

若$G$为$triangle ABC$的重心，则$overrightarrow{PG} = frac{1}{3}（overrightarrow{PA} + overrightarrow{PB} + overrightarrow{PC}）$，其中$P$为重心，$AD$为$BC$边中线。

垂心

若$H$为$triangle ABC$的垂心，则$overrightarrow{AH} cdot overrightarrow{BC} = 0$，且$overrightarrow{PH} = overrightarrow{PA} + overrightarrow{AB} cdot frac{overrightarrow{AC}}{|overrightarrow{AC}|^2}$（$D$为垂足）。

外心

若$O$为$triangle ABC$的外心，则$|overrightarrow{OA}| = |overrightarrow{OB}| = |overrightarrow{OC}|$，且$overrightarrow{OA} cdot overrightarrow{AB} = frac{1}{2}|overrightarrow{AB}|^2$（$D$为$AB$中点）。

内心

若$I$为$triangle ABC$的内心，则$overrightarrow{AI}$平分$angle BAC$，且$overrightarrow{AI} = frac{boverrightarrow{AB} + coverrightarrow{AC}}{a + b + c}$（$a, b, c$为边长）。

二、平行四边形与特殊四边形

菱形

若平行四边形$ABCD$中，$AC perp BD$，则$overrightarrow{AB}^2 + overrightarrow{AD}^2 = overrightarrow{AC}^2$。

矩形

若平行四边形$ABCD$中，$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AD} = 0$，则$AB perp AD$。

正方形

若平行四边形$ABCD$中，$|overrightarrow{AB}| = |overrightarrow{AD}|$且$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AD} = 0$，则四边形为正方形。

三、向量运算性质

中点公式

若$M$为$AB$中点，则$overrightarrow{OM} = frac{1}{2}（overrightarrow{OA} + overrightarrow{OB}）$。

平行与垂直判定

两向量平行：$overrightarrow{a} parallel overrightarrow{b} Leftrightarrow overrightarrow{a} = koverrightarrow{b}$（$k$为实数）。

两向量垂直：$overrightarrow{a} perp overrightarrow{b} Leftrightarrow overrightarrow{a} cdot overrightarrow{b} = 0$。

角平分线性质

若$AD$平分$angle BAC$，则$frac{|overrightarrow{AB}|}{|overrightarrow{AC}|} = frac{BD}{DC}$（角平分线定理）。

四、向量与几何综合应用

三角形面积 ：$S = frac{1}{2}|overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}|$（向量积的几何意义）。

向量方程 ：直线$AB$的向量方程为$overrightarrow{r} = overrightarrow{A} + toverrightarrow{AB}$（参数方程）。

以上结论可通过向量加法、减法、数量积等运算进行证明，建议结合几何图形进行理解。高考中常以这些结论为素材，要求学生灵活运用向量知识解决几何问题。