考研如何判断奇偶函数

判断考研数学中函数的奇偶性，主要方法及要点如下：

一、定义法（核心方法）

判断定义域

首先需确认函数定义域关于原点对称。若定义域不关于原点对称（如$（-infty, 1） cup （1, +infty）$），则函数非奇非偶。

计算$f（-x）$

将$-x$代入函数表达式，化简后与$f（x）$比较：

若$f（-x） = f（x）$，则为偶函数；

若$f（-x） = -f（x）$，则为奇函数。

特殊点验证

奇函数必过原点（若定义域包含0），可通过$f（0）=0$验证。

二、性质法（快速判断）

四则运算规则

偶±偶=偶，奇±奇=奇，偶×偶=偶，奇×奇=偶，奇×偶=奇；

两个奇函数相加/减仍为奇函数，两个偶函数相加/减仍为偶函数。

复合函数奇偶性

内层函数为偶函数时，复合函数为偶函数（如$f（g（x））$，$g（x）$为偶函数）；

内层函数为奇函数时，复合函数奇偶性由外层函数决定。

三、图像法（辅助验证）

偶函数图像关于y轴对称；

奇函数图像关于原点对称。

通过观察图像对称性可快速判断奇偶性，但需结合定义法确认。

四、其他注意事项

定义域的重要性

若定义域不关于原点对称，直接判定为非奇非偶函数。

复杂函数的拆分

对于复杂函数（如$y = xsin x$），可拆分为基本函数（$x$和$sin x$均为奇函数），再根据规则判断。

奇偶性的应用

奇函数的原函数为偶函数（仅过原点）；

偶函数的原函数一般为非奇非偶函数。

示例总结

判断函数$f（x） = frac{1 - x^2}{1 + x^2}$：

定义域为$mathbb{R}$，关于原点对称；

计算$f（-x） = frac{1 - （-x）^2}{1 + （-x）^2} = frac{1 - x^2}{1 + x^2} = f（x）$，为偶函数。

通过以上方法，可系统判断考研数学中函数的奇偶性。