运筹学中如何找基阵

在运筹学中，基阵（也称为基矩阵）的确定通常涉及以下步骤，结合线性规划的标准形式和矩阵理论：

一、线性规划标准形式回顾

线性规划问题通常表示为：

$$

begin{aligned}

& text{maximize} quad Z = c^T x

& text{subject to} quad Ax leq b

& x geq 0

end{aligned}

$$

其中，$A$是系数矩阵，$x$是决策变量向量，$b$是右端常数向量，$c$是目标函数系数向量。

二、基阵的选取原则

基阵定义

基阵$B$是系数矩阵$A$的一个子矩阵，其列向量构成线性无关组，且矩阵可逆。对应的变量$x_B$称为基变量，其余变量$x_N$为非基变量。

条件与方法

可逆性 ：基阵$B$必须是满秩矩阵（即行列式不为零）。

选择方式 ：通常从所有可能的2阶子矩阵中选取，满足上述条件即可。例如，对于3×3矩阵，有$C（3,2）=3$种组合。

三、具体操作步骤

构建系数矩阵

以给定线性规划问题为例，系数矩阵$A$为：

$$

A = begin{bmatrix}

5 & 1 & -1 & 1 & 0

10 & 6 & 2 & 0 & 1

end{bmatrix}

$$

这里有2个约束方程和5个变量。

生成所有2阶子矩阵

从$A$中任选2列，形成2×2子矩阵，共$C（5,2）=10$种组合：

$$

begin{aligned}

B_1 &= begin{bmatrix}5 & 1 10 & 6end{bmatrix}, & B2 &= begin{bmatrix}5 & -1 10 & 2end{bmatrix}, & cdots, & B{10} &= begin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}

end{aligned}

$$

筛选可逆基阵

检查每个子矩阵的行列式是否非零。例如：

$$

det(B_1) = 5 times 6 - 10 times 1 = 20 neq 0

$$

因此$B_1$是可逆基阵，对应的变量$x_1$和$x_2$为基变量。

四、总结

基阵的选取需满足可逆性条件，实际操作中可通过计算子矩阵行列式或高斯消元法验证。不同方法适用于不同规模的问题，需结合具体场景选择。