偶函数是数学中一种重要的函数类型，其性质主要体现在以下几个方面：
定义
若对于函数 $f（x）$ 的定义域内任意 $x$，都有 $f（x） = f（-x）$，则称 $f（x）$ 为偶函数。
图像特征
偶函数的图像关于 y轴 对称，即直线 $x = 0$ 是其对称轴。
定义域要求
定义域必须关于原点对称，否则函数既不是奇函数也不是偶函数。例如 $f（x） = x^2$ 的定义域为 $mathbb{R}$（全体实数），满足对称性；而 $f（x） = x^2, x in （-2, 2]$ 不满足，因为定义域不关于原点对称。
运算性质
两个偶函数相加 ：和仍为偶函数，即若 $f（x）$ 和 $g（x）$ 均为偶函数，则 $f（x） + g（x）$ 也是偶函数。
偶函数与常数 ：常数函数 $f（x） = c$（$c$ 为常数）是偶函数。
特殊函数示例
常见偶函数包括 $y = x^2$、$y = cos x$、$y = |x|$ 等。
单调性
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。例如 $f（x） = x^2$ 在 $（-infty, 0）$ 上单调递减，在 $（0, +infty）$ 上单调递增。
极值点
若偶函数在 $x = 0$ 处可导，则 $f'（0） = 0$，即 $x = 0$ 可能是极值点。例如 $f（x） = x^4$ 在 $x = 0$ 处取得极小值。
傅里叶级数
偶函数可以展开为余弦级数，形式为 $f（x） = a0 + sum{n=1}^{infty} a_n cos（nx）$，其中 $a_0$ 和 $a_n$ 为常数。
偶函数与奇函数组合
若 $f（x）$ 为偶函数，$g（x）$ 为奇函数，则 $f（x）g（x）$ 为奇函数，$f（x） + g（x）$ 为非奇非偶函数。
偶函数的核心性质包括定义域对称性、函数值的对称性、运算性质以及单调性的规律。理解这些性质有助于判断函数的奇偶性，并解决相关数学问题。
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