自然常数 $e$ 是数学中一个非常重要的常数，其值约为 2.718281828459045... ，具有以下特性和应用：
极限定义
$e$ 可以通过以下极限定义：
$$e = lim_{x to infty} left(1 + frac{1}{x}right)^x$$
这一定义最早由雅各布·伯努利提出，欧拉进一步推广了这一概念。
无理数特性
$e$ 是一个无限不循环小数，其小数部分永无重复规律。
导数特性
$e^x$ 的导数等于其本身，即 $frac{d}{dx} e^x = e^x$，这一性质使其在微积分中具有特殊地位。
微积分与复利
复利计算公式：$A = P e^{rt}$，其中 $A$ 为最终金额，$P$ 为本金，$r$ 为利率，$t$ 为时间。
指数函数 $e^x$ 的导数和积分形式简洁，便于微分和积分计算。
概率与统计
正态分布的概率密度函数包含 $e^{-frac{x^2}{2}}$ 项，广泛应用于统计学中的数据建模。
物理与工程
电路分析中的RC时间常数、热传导方程、量子力学中的波函数等均涉及 $e$。
倒数特性 ：$e$ 的倒数仍为 $e$，即 $frac{1}{e} = e^{-1}$。
幂次特性 ：$e$ 的任意正整数次幂都是无理数。
$e$ 可以通过泰勒级数展开表示：
$$e = 1 + frac{1}{1!} + frac{1}{2!} + frac{1}{3!} + cdots + frac{1}{n!} + cdots$$
该级数收敛速度较快，适用于数值计算。
综上，$e$ 是数学中一个基础且应用广泛的常数，其值约为 2.71828... ，贯穿于微积分、概率、物理等众多领域。
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