根据现有信息，"登科留学"的总部位置需结合不同分支机构及关联公司进行说明：
南昌登科留学服务有限公司
总部设在南昌市西湖区，但该公司主营租赁和商务服务业，与留学服务关联度较低。
杭州登科留学信息咨询有限公司
注册于浙江省杭州市，属于人力资源服务类企业，非留学服务机构。
常州市登科教育科技有限公司
位于江苏省常州市，主营留学考试类服务，但未明确提及总部位置。
赣州登科教育培训有限公司
地址为江西省赣州市，同样主营教育咨询服务，但未明确标注总部。
漳州登科教育咨询有限公司
总部设在 福建省福州市 ，拥有四个校区，主营中小学学科补习及留学服务。该公司是登科教育集团旗下重要分支机构，且明确标注了福州作为总部所在地。
结论 ：
若用户查询的是与留学服务直接相关的"登科留学"总部， 漳州登科教育咨询有限公司 （福州）是最符合的答案。其他分支机构如南昌、杭州、常州、赣州等地的分公司，虽可能涉及相关业务，但并非集团总部。
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