tan是正切函数（tangent function）的简写，属于三角函数的一种。其核心定义和性质如下：
直角三角形定义
在直角三角形中，tan（θ）表示角θ的对边长度与邻边长度的比值，即 $tantheta = frac{text{对边}}{text{邻边}}$。
坐标系定义
在平面直角坐标系中，对于任意角θ（以弧度或度数表示），$tantheta = frac{y}{x}$，其中$（x, y）$是角θ终边上一点的坐标。
周期性
正切函数是周期函数，周期为 $pi$（180°）。即 $tan（theta + pi） = tantheta$。
定义域与值域
定义域 ：所有实数，除 $theta = frac{pi}{2} + kpi$（k为整数）。
值域 ：全体实数 $（-infty, +infty）$。
特殊角度
$tan（45°） = 1$
$tan（0°） = 0$
$tan（90°）$ 不存在（趋向无穷大）。
几何意义 ：在直角三角形中，正切值等于对边与邻边的比值，也等于该角终边上任意一点的纵坐标与横坐标之比。
代数意义 ：在平面直角坐标系中，正切函数表示直线的斜率。
正切函数与正弦、余弦函数的关系为：
$$tantheta = frac{sintheta}{costheta}$$
其中，$sintheta$ 是对边与斜边的比值，$costheta$ 是邻边与斜边的比值。
正切函数在几何、物理、工程等领域有广泛应用，例如：
计算坡度、角度测量；
解决周期性现象（如波动、振动）；
信号处理、微分方程求解。
综上，tan是描述角度与直角三角形边长比例关系的函数，具有周期性、广泛定义域和重要应用价值。
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